ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER

Tam Kare Özdeşliği:
İki Terim Toplamının Karesi : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

İki Terim farkının Karesi : (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Üç Terim Toplamının Karesi: (a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2.(ab + ac + bc)

İki Terim Toplamının Küpü: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

İki Terim Farkının Küpü : (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

İki Kare Farkı Özdeşliği: a2 – b2 = (a + b).(a – b)

xn + yn veya xn − yn biçimindeki polinomların Özdeşliği

İki küp Toplamı : a3 + b3 = (a + b).(a2 – ab + b2)

İki küp Farkı : a3 − b3 = (a − b).(a2 + ab + b2)

a4 – b4 = (a2 + b2).(a + b).(a – b)

a5 + b5 = (a + b).(a4 – a3b + a2 b2 – ab3 + b4)

a5 – b5 = (a – b).(a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4)

a6 – b6 = (a – b).(a2 + ab + b2).(a+ b).(a2 − ab + b2)

a7 + b7 = (a + b).(a6 – a5b + a4b2 – a3b3 + a2b4 – ab5 + b6)

a7 – b7 = (a – b).(a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6)

Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz

x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy

x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy
(x – y)2 = (x + y)2 – 4xy

(x + y)2 = (x – y)2 + 4xy

x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy (x – y)

x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy (x + y)

x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2 (xy + xz + yz)

Ortak Çarpan Parantezine Alma

* a.x+b.x= (a+b).x

* x2+2x=x.(x+2)

* x2y+y=y.(x2+1)

* x2-2xy=x.(x-2y)

* (x+2).b+a.(x+2)=(b+a).(x+2)

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma

* ax+bx+ay+by=x.(a+b)+y.(a+b)=(x+y).(a+b)

* x3-x2+x-1=x2.(x-1)+(x-1)=(x-1).(x2+1)

* xy-4x-4y+16= x(y-4)-4(y-4) = (y-4).(x-4)





İki Küp Farkı : x3 — y3 = (x — y).(x2 + xy + y2)

İki Küp Toplamı : x3 + y3 = (x + y).(x2 — xy + y2)
İki Küp Farkı Örnek Soruları ve Çözümleri
Örnek #1: x3 — 27 ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm: Soruyu iki küp farkı haline getirmek için 27 sayısının 33 şeklinde yazarız.

Bu durumda ifademiz x3 — 33 şeklinde olacaktır.

x3 — 33 = (x — 3).(x2 + 3x + 9)

Örnek #2: 8a3 — 64b3 ifadesinin eşitini bulunuz.

Çözüm: Soruyu iki küp farkına çevirmek için 8a3 — 64b3 ifadesini (2a)3 — (4b)3 şeklinde yazarız. Bu durumda özdeşliği yazarsak

(2a)3 — (4b)3 = (2k — 5m). (4a2 + 8ab + 16b2)

Örnek #3: a — b = 10 ve a.b = 30 olmak üzere a3 — b3 ifadesinin eşiti kaçtır?

Çözüm: a3 — b3 ifadesini açalım. a3 — b3 = (a — b).(a2 + ab + b2) olur. Burada a — b ve a.b ifadelerini biliyoruz. İhtiyacımız olan tek şey a2 + b2 ifadesini bulmaktadır. Bunu bulmak için de (a — b) ifadesinin karesini alalım.

(a — b)2 = a2 + b2 — 2ab olur. Formülde bildiklerimizi yerine yazarsak

102 = 100 = a2 + b2 — 2.30 olur. Buradan da a2 + b2 =160 bulunur.

Şimdi özdeşlikte hepsini yerine yazalım.

a3 — b3 = (a — b).(a2 + ab + b2) = 10.(160 + 30) = 10.190 = 1900 bulunur.

Tam Küp Farkı : Tam küp farkı iki sayının farkının küpü iken İki Küp Farkı iki sayının küpünün farkıdır. Yani birinde parantez küp varken diğerinde parantez olmadan küp vardır.
Aradaki farkı anlamak için bu konuyla ilgili özdeşlikleri verelim.

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Yukarıda küp farkı ve toplamı formülü de verilmiştir.

Bu formülleri birbirine karıştırmamaya dikkat etmek gerekir.



ax²+bx+c ifadesini çarpanlara ayırma
ax²+bx+c ifadesi çarpanlara ayrılırken, ax² terimi iki çarpan haline getirilecek (m ve n olsun) ve c terimi de iki çarpan haline getirilecek (p ve r olsun). Bu dört çarpan ikişer ikişer birbirleri ile çarpılıp toplandığında bx terimini verecek şekilde şeçilirler. Diyelim ki bu bx ifadesini m.p+n.r vermiş olsun.

O zaman çarpanlara ayrılmış hali ax²+bx+c=(n+p).(m+r) dir.

Örnek: x²+12x+32 ifadesini çarpanlarına ayıralım.

x²=x.x
32=8.4

8 çarpanı ile x çarpanı çarpılıp 8x, 4 çarpanı ile x çarpılıp 4x bulunur. 8x+4x toplamı x²+12x+32 ifadesindeki ortadaki terim olan 12x vermektedir.

O zaman x²+12x+32 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali şöyledir.

x²+12x+32=(x+8).(x+4)

Örnek: 20x²-x-12 ifadesini çarpanlara ayıralım.

20x²=4x.5x
-12=-4.3

-4.4x=-16x ve 3.5x=15x ve -16x+15x=-x olup 20x²-x-12 ifadesinin ortasındaki terimi verdiğinden.

20x²-x-12=(5x-4).(4x+3)

Örnek: 6x²+11x+3 ifadesini çarpanlara ayıralım.

6x²=3x.2x
3=3.1

3.3x+1.2x=11x olduğundan 6x²+11x+3 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali 6x²+11x+3=(3x+1).(2x+3) tür.